Учебные разборы · Геометрия
Теорема Пифагора: как найти катет и гипотенузу
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Катеты образуют прямой угол, а гипотенуза лежит напротив него и является самой длинной стороной. Если прямой угол не задан и не доказан, применять эту теорему сразу нельзя.
Основные формулы
c² = a² + b², где a и b — катеты, c — гипотенуза
Гипотенуза: c = √(a² + b²)
Катет: a = √(c² − b²)
Перед вычислением
Убедитесь, что треугольник прямоугольный, и найдите сторону напротив угла 90°: это гипотенуза.
Переведите все длины в одинаковые единицы. Не складывайте сантиметры с метрами без перевода.
При поиске катета вычитайте квадрат известного катета из квадрата гипотенузы, а не наоборот. Длины сторон берутся положительными.
Почему важен прямой угол
У произвольного треугольника равенство c² = a² + b² неверно. В задачах с прямоугольником нужный прямой угол следует из определения прямоугольника. На рисунке нельзя считать угол прямым только потому, что он так выглядит.
Примеры с пошаговым решением
Пример 1. Найти гипотенузу
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу.
- Обозначим гипотенузу c. По теореме Пифагора c² = 3² + 4².
- Считаем: c² = 9 + 16 = 25.
- Длина положительна, поэтому c = √25 = 5 см.
Проверка. 5² = 25 и 3² + 4² = 25. Гипотенуза 5 см длиннее каждого катета.
Ответ: 5 см.
Пример 2. Найти катет
Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет.
- Пусть неизвестный катет равен a. Записываем a² + 5² = 13².
- Выражаем a²: a² = 169 − 25 = 144.
- Получаем a = √144 = 12 см.
Проверка. 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
Ответ: 12 см.
Пример 3. Диагональ прямоугольника
Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Найдите диагональ.
- Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.
- Стороны 6 см и 8 см — катеты, диагональ d — гипотенуза.
- d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- Значит d = √100 = 10 см.
Проверка. 10² = 100 = 6² + 8². Диагональ длиннее каждой стороны прямоугольника.
Ответ: 10 см.
Частые ошибки
- Подставлять в роль гипотенузы сторону, которая не лежит напротив прямого угла.
- При поиске катета складывать квадраты вместо вычитания.
- Забывать извлечь квадратный корень: 25 — это квадрат гипотенузы, а не её длина.
- Считать, что √(a² + b²) = a + b. В общем случае это неверно.
- Определять прямой угол или длину по внешнему виду чертежа без данных условия.
Вопросы по теме
Как проверить, прямоугольный ли треугольник?
Для положительных длин сторон существующего треугольника сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух остальных. Если они равны, по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный.
Всегда ли ответ целый?
Нет. Например, при катетах 1 см и 1 см гипотенуза равна √2 см. Корень можно оставить в точной форме, если округление не требуется.
Можно ли применять теорему к любому четырёхугольнику?
Нет. Сначала нужно выделить прямоугольный треугольник и обосновать прямой угол. В примере с прямоугольником это следует из его определения.
Разберите свою задачу
Откройте раздел «Геометрия», введите условие или загрузите фото. Сервис объяснит шаги; ответы ИИ нужно проверять. Чтение этого материала не расходует баланс задач.
Решить свою задачу