Учебные разборы · Математика
Как решать квадратные уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Здесь a, b и c — коэффициенты, а x — неизвестное. Начните с приведения к этому виду: перенесите все слагаемые в одну сторону и приведите подобные.
Основные формулы
D = b² − 4ac
Если D > 0: x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a)
Если D = 0: x = −b/(2a)
Если D < 0: действительных корней нет
Что означает дискриминант
Знак D определяет число действительных корней. Положительный дискриминант даёт два различных корня, нулевой — один корень, отрицательный — ни одного действительного корня. Последний случай не означает отсутствия комплексных корней: здесь мы решаем уравнения над действительными числами.
Алгоритм решения
1. Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0 и выпишите коэффициенты вместе со знаками.
2. Вычислите D = b² − 4ac. Отрицательные коэффициенты подставляйте в скобках.
3. Выберите формулу по знаку дискриминанта и найдите все действительные корни.
4. Подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение. Если оно получено из дробного уравнения, отдельно проверьте ограничения на знаменатели.
Примеры с пошаговым решением
Пример 1. Два различных корня
x² − 5x + 6 = 0
- Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- Дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Первый корень: x₁ = (5 + 1)/2 = 3.
- Второй корень: x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
Проверка. При x = 3: 9 − 15 + 6 = 0. При x = 2: 4 − 10 + 6 = 0. Оба значения подходят.
Ответ: x = 2 или x = 3.
Пример 2. Нулевой дискриминант
2x² + 4x + 2 = 0
- Коэффициенты: a = 2, b = 4, c = 2.
- D = 4² − 4 · 2 · 2 = 16 − 16 = 0.
- Получаем один корень: x = −4/(2 · 2) = −1.
Проверка. 2 · (−1)² + 4 · (−1) + 2 = 2 − 4 + 2 = 0. Можно также заметить: 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)².
Ответ: x = −1.
Пример 3. Отрицательный дискриминант
x² + 2x + 5 = 0
- Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 5.
- D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
- D < 0, поэтому действительных корней нет.
Проверка. x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Квадрат неотрицателен, значит левая часть не меньше 4 и не может равняться нулю.
Ответ: Действительных корней нет.
Частые ошибки
- Терять знак b: в первом примере b = −5, поэтому −b = 5.
- Делить только √D на 2a. В формуле на 2a делится весь числитель −b ± √D.
- Забывать второй корень при D > 0.
- Использовать квадратную формулу при a = 0. Тогда уравнение нужно рассматривать как линейное либо как равенство без неизвестного.
- Делить уравнение на x без проверки x = 0: так можно потерять корень.
Вопросы по теме
Можно ли решить без дискриминанта?
Да. Иногда удобно разложить выражение на множители, выделить полный квадрат или применить теорему Виета. Например, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Что делать, если c = 0?
Вынесите x: ax² + bx = x(ax + b). Тогда x = 0 или x = −b/a при a ≠ 0. Не сокращайте на x, пока не учтён нулевой корень.
Что делать, если квадратное уравнение получилось из дробного?
Сначала запишите ограничения: знаменатели не должны быть равны нулю. После решения исключите корни, нарушающие эти ограничения.
Разберите свою задачу
Откройте раздел «Математика», введите условие или загрузите фото. Сервис объяснит шаги; ответы ИИ нужно проверять. Чтение этого материала не расходует баланс задач.
Решить свою задачу