Учебные разборы · Математика

Как решать логарифмические уравнения

Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. В действительных числах основание a должно быть положительным и не равным 1, а аргумент b — положительным. Проверка этих условий — обязательная часть решения.

Основные формулы

logₐ b = c ⇔ aᶜ = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0

logₐ(uv) = logₐ u + logₐ v при u > 0, v > 0

logₐ(u/v) = logₐ u − logₐ v при u > 0, v > 0

logₐ(uᵏ) = k · logₐ u при u > 0

Сначала запишите ОДЗ

Область допустимых значений (ОДЗ) задаёт условия, при которых исходная запись имеет смысл. Каждый аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Если основание содержит неизвестное, для него отдельно нужны условия a > 0 и a ≠ 1.

Например, для log₃ x + log₃(x − 2) нужны x > 0 и x − 2 > 0. Вместе это даёт x > 2. Положительности произведения x(x − 2) недостаточно: оба аргумента проверяются отдельно.

Как выбрать преобразование

Если в уравнении один логарифм, часто достаточно перейти к степени по определению.

Сумму или разность логарифмов с одинаковым основанием можно объединить по формулам, сохраняя исходное ОДЗ.

После решения полученного уравнения проверьте каждый кандидат по ОДЗ и подстановкой в исходное выражение.

Примеры с пошаговым решением

Пример 1. Переход к степени

log₂(x − 1) = 3

ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
По определению логарифма: x − 1 = 2³ = 8.
Отсюда x = 9. Значение удовлетворяет ОДЗ.

Проверка. log₂(9 − 1) = log₂ 8 = 3, поскольку 2³ = 8.

Ответ: x = 9.

Пример 2. Сумма логарифмов

log₃ x + log₃(x − 2) = 1

ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, значит x > 2.
Объединяем логарифмы: log₃[x(x − 2)] = 1.
Переходим к степени: x(x − 2) = 3.
Получаем x² − 2x − 3 = 0, то есть (x − 3)(x + 1) = 0.
Кандидаты: x = 3 и x = −1. Корень −1 не входит в исходное ОДЗ, оставляем 3.

Проверка. log₃ 3 + log₃(3 − 2) = 1 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1.

Ответ: x = 3.

Пример 3. Основание меньше единицы

log₀,₅(x + 1) = −2

Основание 0,5 положительно и не равно 1. ОДЗ: x + 1 > 0, значит x > −1.
По определению: x + 1 = (1/2)⁻² = 4.
Получаем x = 3; значение входит в ОДЗ.

Проверка. log₀,₅ 4 = −2, потому что (1/2)⁻² = 4.

Ответ: x = 3.

Частые ошибки

Писать logₐ(u + v) = logₐ u + logₐ v. Для суммы аргументов такого свойства нет.
Заменять сумму логарифмов логарифмом произведения, забыв исходные условия u > 0 и v > 0.
Считать logₐ 1 равным 1. На самом деле logₐ 1 = 0.
Забывать, что (1/2)⁻² = 4, а не 1/4.
Путать уравнения с неравенствами: при 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает, что важно для направления знака неравенства.

Вопросы по теме

Может ли ответ логарифма быть отрицательным?

Да. Положительным должен быть аргумент, но само значение логарифма может быть отрицательным. Например, log₂(1/4) = −2.

Почему найденный корень иногда приходится исключать?

Преобразованное уравнение может допускать значения, при которых исходный логарифм не определён. Поэтому нужно сохранить и проверить первоначальное ОДЗ.

Нужно ли менять знак при переходе к степени?

В уравнении logₐ b = c просто используйте равносильную запись aᶜ = b при допустимых a и b. Правило о смене направления относится к сравнению значений убывающей функции в неравенствах.

Разберите свою задачу

Откройте раздел «Математика», введите условие или загрузите фото. Сервис объяснит шаги; ответы ИИ нужно проверять. Чтение этого материала не расходует баланс задач.

Решить свою задачу